تعدد الطرق لحل مسائل رياضية

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "تعدد الطرق لحل مسائل رياضية"

Ingvar Fredrik Therkildsen
6 år siden
Visninger:

1 تعدد الطرق لحل مسائل رياضية بقلم: األستاذة سناء نص ار مدرسة البطوف الشاملة أ - عرابة إن تحفيز التالميذ على البحث عن طرق متعددة لحل مسألة رياضية من شأنه أن يثير الرغبة لديهم في موضوع الرياضيات وهو يخلق جو ا من المنافسة البناءة داخل غرفة الصف مما يجعل الدروس أكثر حيوية فيها توجيه نحو االبداع واالكتشاف يحدث كثيرا أن يقترح بعض التالميذ طرقا أخرى لحل المسألة بعد حل ها ولكن يتبين أنها مشابهة كثيرا للحل الذي تم عرضه فيكون االختالف بسيطا مثال تغيير في ترتيب العمليات الحسابية فيكون إلصرار التلميذ على عرض طريقته أمام التالميذ بعض اإلزعاج لمجرى الدرس لذلك من الضروري عرض بعض المسائل وطرق مختلفة لحلها أمام التالميذ لكي يالحظوا طرق حل مختلفة لمسألة رياضية أعرض هنا أمثلة لمسائل وحلول متعددة لها مسألة )1( ايجاد قانون مساحة شبه المنحرف A B طريقة 1 D E شكل )1( F C 1( ارسم شبه منحرف (AB DC) ABCD وليكن BF ارتفاعه نعين النقطة E على الساق AD بحيث أن:,AE=ED نوصل B و E قص المثلث EAB على امتداد BE وألصقه كما ترى في الشكل )( الحظ أن المثلثين EAB وEDB متطابقان لذلك فإن مساحة المثلث GBC تساوي مساحة شبه المنحرف ABCD 1 CG BF لذلك فإن GC=DC+AB بما أن مساحة المثلث GBC تساوي E A B 1 CG BF لذلك فإن مساحة شبه المنحرف تساوي أيضا G) D شكل )( F C طريقة : 1

2 a نرسم شبه منحرف ونرسم شبه منحرف مطابقا له ونلصقهما كما تالحظ في الشكل )3( يتكو ن متوازي أضالع طول ضلعه a+ )مجموع قاعدتي شبه المنحرف( وارتفاعه يساوي ارتفاع شبه المنحرف يساوي لذلك فإن مساحة متوازي األضالع تساوي لكن مساحة متوازي األضالع تساوي ضعفي مساحة شبه المنحرف a a 1 a لذلك فإن مساحة شبه المنحرف تساوي شكل )3( a نفرض أن القاعدتين a و واالرتفاع طريقة : 3 انظر شكل) 4 ( شكل )4( x a--x النقص في هذه الطريقة عندما يكون االرتفاع يقع خارج شبه المنحرف ( عند فحص تلك الحالة نتوصل إلى نفس القانون(

3 N طريقة : 4 نعي ن النقطتين M و N ليتقاطع المستقيمان مع امتداد القاعدة الصغرى AB وهما منتصفا الساقين نعي ن نقطة ما على القاعدة CD في نقطتين نفرضهما و L ونوصلها مع النقطتين M و K من السهل أن نتأك د من أن مساحة المثلث FLK تساوي مساحة شبه المنحرف ABCD وكذلك فإن KL a وللشكلين نفس االرتفاع لذلك فإن مساحة شبه المنحرف تساوي: (a+) ومن السهل أن نالحظ أن MN هو القاعدة K a- x B A x L L x M N الوسطى لشبه المنحرف وهي خط المنتصفين C a -x xxx للمثلث لذلك فهي توازي KL فهي توازي قاعدتي F x D شبه المنحرف وطولها يساوي نصف KL فهو يساوي نصف مجموع قاعدتي شبه المنحرف مسألة ايجاد مساحة شبه المنحرف إذا ع ل م ت أضالعه مسألة )(: طول القاعدة الصغرى لشبه منحرف 11 سم, وطول قاعدته الكبرى 53 سم, طول أحد الساقين 11 سم وطول الساق الثاني 11 سم احسب مساحته 14 طريقة : 1 ننزل ارتفاعين على القاعدة الكبرى من طرفي القاعدة الصغرى { X 14 1-x x -(1-x) =10-17 )x-1) 1=-7 7 3

4 x-1=-9 x=1 X=6 =10-6 =8 05(14+5)8=169 cm =8 لذلك فإن مساحة شبه المنحرف تساوي 10 B 14 A طريقة : نمرر المستقيم AE موازيا للساق BC C 14 1 E D نحسب ارتفاع المثلث ADE { X 1-X عند حل الهيئة نتوصل إلى أن 6=x 8=, 05(14+5)8=169 لذلك فإن مساحة شبه المنحرف تساوي cm أثناء الحل قد يثير التالميذ التساؤل التالي: هل من كل أربع قطع مستقيمة ذات أطوال مختلفة يمكن إنشاء شبه منحرف ويمكن كتابة نص التساؤل بشكل آخر على النحو اآلتي: سؤال:معطاة قطع مستقيمة أطوالها a,,c,d ما هي الشروط الالزمة والكافية حتى يمكن إنشاء شبه منحرف قاعدته الصغرى a (c>a)?d وساقه الثاني c قاعدته الكبرى ساقه a d لإلجابة على التساؤل نالحظ في الشكل: c c-a 4

5 +d >c-a وأيضا + c a >d وأيضا d + c a > +d+ a >c وأيضا c >d+( a ) وأيضا c > a+(-d) وهذا يكافئ a+ -d < c < a + +d وهو الشرط الالزم والكافي ال يوجد شبه منحرف مع المعطيات: يوجد شبه منحرف مع المعطيات : مسألة )3( عن المعادلة التربيعية: برهن : إذا تحقق الشرط ) ( يوجد حذران حقيقيان مختلفان فإن للمعادلة التربيعية طريقة 1: تكافئ تكافئ بواسطة اإلكمال إلى مربع هذا يكافئ وهو يكافئ وهو يكافئ ) ( 1 a a 4 التعبير الجبري هو مرب ع تام لذلك فإن : لذلك فإن وهذا يعني أن للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان لذلك فإن : وهو يكافئ 5

6 طريقة : معلوم أن : نمي ز بين حالتين: حالة أ: نفرض أن 0<a نقسم المتباينة على a نحصل على f x ax x c نالحظ أن المقدار يساوي قيمة الدالة التربيعية في النقطة لذلك بما أن الرسم البياني للدالة هو كأس قائمة )لها قيمة صغرى( وقيمتها في النقطة سالبة لذلك فإن من المؤك د أن يقطع الرسم البياني للدالة م حالة أ: نفرض أن 0<a نقسم المتباينة على a نحصل على حالة ب: نفرض أن 0>a نقسم المتباينة على a نحصل على f x ax x c نالحظ أن المقدار يساوي قيمة الدالة التربيعية في النقطة لذلك بما أن الرسم البياني للدالة هو كأس مقلوبة )لها قيمة عظمى( وقيمتها في النقطة موجبة لذلك فإن من المؤك د أن يقطع الرسم البياني للدالة محور x في نقطتين وهما الجذران المختلفان للمعادلة التربيعية المذكورة مسألة 4: حلل المقدار 4+ 4 n لحاصل ضرب تعبيرين جبريين تربيعيين طريقة 1 n 4 +4 = (n +a 1 n+ 1 )(n +a n+ ) n 4 +4=n 4 +(a +a 1 )n 3 +( + 1 +a 1 a )n +( 1 a +a 1 )n+ 1 a +a 1 = a 1 a =0 وأيضا =0 1 a +a 1 وأيضا وأيضا 1 =4 لذلك فإن : 1 + فإن =a a 1 a وبما أن =0 1 فإن = 1 a +a 1 بما أن =0 a 1 = - a فإن = 1 = لذلك =4 1 ومن هنا فإن =+ 1 a أو =- 1 a a لذلك فالتحليل هو: وبما أن 1 =4 n 4 +4=(n +n+)(n -n+) 6

7 طريقة : نجمع التعبير 4n ونطرحه لكي نحصل على فرق بين مربعين n 4 +4=n 4 +4n +4-4n =(n +) -(n) =(n +-n)(n ++n) =(n +n+)(n -n+) مثال آخر: حلل المقدار 1+ 4 n لحاصل ضرب تعبيرين جبريين تربيعيين حل: n 4 +n +1-n =(n +1) -n =(n +1) -( n) =(n - n+1)(n + n+1) يالحظ القارئ أن الطريقة الثانية للحل هي األجمل واألبسط واألقصر فيسأل : لماذا نتعل م الطريقة األولى وهي تبدو طويلة وشاقة والجواب: الطريقة الثانية هي فعال طريقة جميلة وحكيمة ولكنها هي خاص ة لحاالت معينة أما الطريقة األولى فهي طريقة عام ة أكثر إذ نستطيع بواسطتها تحليل تعابير جبرية كثيرة حيث ال نستطيع تحليلها حسب الطريقة الثانية الحكيمة مثال: حلل للعوامل التعبير الجبري +7n+6 n 4 +3n 3 +7n حل: n 4 +3n 3 +7n +7n+6=(n +an+)(n +cn+d) =n 4 +(a+c)n 3 +(d++ac)n +(ad+c)n+d 7

8 d=6 a+c=3 d++ac=7 ad+c=7 n 4 +3n 3 +7n +7n+6=(n +n+)(n +n+3) لذلك فإن : 8

Relaterede dokumenter

النقطة التي تقسم الخط المستقيم إلى قطعتين متساويتين في الطول. أما مركز القوس فهو مركز دورانه

النقطة التي تقسم الخط المستقيم إلى قطعتين متساويتين في الطول. أما مركز القوس فهو مركز دورانه مبادئ الهندسة المستويه النقطة والخط المستقيم والمستوى تقوم الهندسة على نقاط وخطوط وسطوح تماما كما هو الحال في اللغة التي تتكون من الحرف اللغوي والكلمة والجملة. ونحن إن عقدنا مقارنة مجازية بين الهندسة ولغة